Саболч Хусти родился 18 апреля 1983 года в Венгерском городе Мишкольц. Начал заниматься футболом в городе Таполка. В 14 лет переехал в Будапешт, где присоединился к юношеской команде легендарного «Ференцвароша». С 2001 года стал игроком основной команды, однако дебютировал в высшей лиге чемпионата Венгрии лишь 28 сентября 2003 года, выйдя на 68-й минуте матча на замену.
Место в составе ему завоевать не удалось — тот матч так и остался для Саболча единственным в первом круге чемпионата 2003 года, и зимой он был отдан в аренду в «Сопрон». Хусти блестяще провел остаток чемпионата, забив 6 голов в 14 матчах и внеся немалый вклад в итоговое 5-е место клуба — лучшее в его истории.
Вернувшись из аренды, продолжил забивать. Было ясно, что Саболч ненадолго задержится в венгерском чемпионате: его контракт истекал в конце сезона, и он становился свободным агентом. В конце концов Хусти перешёл в «Метц». Но вскоре «Метц» вылетел, и Саболч всего за 300 тысяч евро перешёл в «Ганновер».
В первом же немецком сезоне он стал игроком основного состава. Одним из самых впечатляющих его достижений стал победный гол со штрафного в ворота «Баварии», которую ганноверцы к тому моменту не обыгрывали дома на протяжении 20 лет. Летом 2007 года полузащитником интересовался мадридский «Реал», однако переход в Испанию не состоялся.
В сборной Венгрии Саболч дебютировал 25 апреля 2004 года и в первой же игре отметился голом в ворота Японии.
1 февраля 2009 года Хусти подписал контракт с «Зенитом».
