Юрий Владимирович Жевнов родился 17 апреля 1981 года в городке Добруш Гомельской области Белорусской ССР. В футбол начал играть в 7 лет в местной детско-юношеской спортивной школе, а в 13 лет, попав «на карандаш» скаутам из Минска, переехал в столицу Беларуси, где и окончил Республиканское училище олимпийского резерва, параллельно выступая в юношеских сборных страны.

Первые клубы Жевнова — МКПЦ-96, РУОР, «Смена»-БАТЭ, РШВСМ-«Олимпия» (все — город Минск) — дали футболисту игровую практику и позволяли поднять уровень своей игры до необходимого вратарю высшей лиги чемпионата Белоруссии предела. В 2000 году попал в основной состав борисовского БАТЭ, в котором за 4 сезона сыграл 80 матчей, параллельно успев установить рекорд чемпионата Беларуси — 763 «сухие» минуты подряд. В сезоне 2004 года в рамках Кубка УЕФА стал первым вратарём БАТЭ, забившим мяч ударом от своих ворот — гол на фамилию Жевнов записан в протоколе игры против «Динамо» из Тбилиси. В составе БАТЭ Юрий выиграл полный комплект наград белорусского первенства и титул лучшего вратаря Беларуси — 2003 (в сборной дебют состоялся годом ранее — в 2002 году, в матче против команды Узбекистана).

В 2005 году был приглашён в состав ФК «Москва», выступая за который Жевнов носил капитанскую повязку. В конце 2009 года указом Министерства спорта России признан мастером спорта России.

В феврале 2010 года подписал четырёхлетний контракт с «Зенитом».