Начал заниматься футболом в 10 лет в родном Кировске, а затем был приглашен в футбольную школу города Стаханова и играл за местный «Стахановец» в 1987–1989 годах. Затем перешел в киевский СКА, за который выступал с 1990 по 1991 год.

В 1992 году перешел в футбольный клуб «Нива» из Винницы, за который провел 72 матча и забил 6 мячей. С 1994 по 1996 год выступал за одесский «Черноморец», в составе которого дважды становился серебряным призером чемпионата Украины.

В 1996 году переехал в Россию, подписав контракт с сочинской «Жемчужиной». В 1997-м перешел в «Зенит», за который выступал до 2001 года. За это время вместе с командой Александр стал бронзовым призером чемпионата России и обладателем Кубка страны. В 2002 году подписал контракт с «Сатурном — REN TV» из Московской области, где отыграл 2 года.

В 2004 году вернулся в Санкт-Петербург и в последующие годы добился самых значимых достижений в своей карьере. В 2007 году Горшков вместе с «Зенитом» выиграл чемпионат России и установил рекорд страны, став самым возрастным чемпионом — на момент завершения сезона футболисту было 37 лет и 277 дней. В 2008 году Горшков стал обладателем Кубка и Суперкубка УЕФА.

Горшков выступал за сборные России (2 товарищеских матча) и Украины, за которую провел 4 матча и забил в них 2 мяча.

В общей сложности Горшков провел за «Зенит» 253 матча и забил 30 мячей.

В 2009 году вошел в тренерский штаб молодежного состава «Зенита» и выиграл вместе с командой молодежное первенство России.

В июне 2010 года вошел в тренерский штаб Академии «Зенита» и вместе с командой 1993 года рождения стал чемпионом России среди футбольных школ.

В марте 2012 года Горшков возглавил «Нижний Новгород», с которым стал бронзовым призером ФНЛ.

В феврале 2013 года стал помощником Рустема Хузина в пермском «Амкаре».

В 2014 году Горшков тренировал раменский «Сатурн», выступавшим во втором дивизионе.

В июне 2017 года назначен на должность старшего тренера молодежного состава «Зенита».